«Квант» для «младших» школьников
Задачи первого номера 2009 года
1. Назовём кирпичом прямоугольный параллелепипед, длина, ширина и высота которого различны. Существует ли кирпич, поверхность которого можно без перекрытий полностью оклеить пятью бумажными квадратами? (Квадраты разрешено перегибать через рёбра параллелепипеда, размеры квадратов
2. Может ли быть верным равенство Р · Е · Ш · И = С · А · М, если разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые — одинаковые?
3. Расположите на столе десять точек так, чтобы любая из них могла переместиться таким образом, чтобы фигура, образованная десятью точками, перешла в конгруэнтную ей фигуру.
4. В кинотеатре «Будь здоров!» 20 рядов по 25 мест в каждом. Все места заняты. Если зритель чихнул во время сеанса, то он отдаёт каждому своему соседу по одному рублю. (Соседи — те, кто сидят спереди или сзади, справа или слева; у зрителя может быть от двух до четырёх соседей.) Изначально денег у всех поровну. Дима чихнул и расплатился. Какое наименьшее число раз должны ещё чихнуть зрители, чтобы у всех стало после расплаты поровну денег?
5. У меня есть двое электронных Задачи второго номера 2009 года
1. В однокруговом турнире по футболу участвовали четыре команды. Чистое второе место заняла команда, набравшая 3 очка. Восстановите результаты всех матчей. Чистое второе место означает, что больше нет команд, набравших столько же очков, и есть ровно одна команда, набравшая больше очков. За выигрыш дают 3 очка, за ничью — 1 очко, запоражение — 0 очков.
2. Лена пошла выгулять щенка в парк. Как только она оказалась в начале дорожки длиной 41 м, идущей вдоль парка, в конце этой дорожки показалась её подруга Катя. Щенок от радости стал бегать от Лены к Кате и назад, и бегал несколько раз туда-сюда до тех пор, пока подруги не встретились на расстоянии 13 м от начала дорожки. Всего щенок пробежал 85 метров. Какое расстояние он пробежал в одну сторону и какое — в другую?
3. Наблюдая за расплыванием чернильных клякс на промокашке, Петя Френель сформулировал закон распространения клякс: каждая точка, до которой дошла клякса, сама становится источником вторичных клякс, причём скорость роста 1 клетке в минуту. Считая этот закон справедливым, найдите, какую площадь будет занимать через 4 минуты «прямоугольная клякса» размером 6×10 клеток.
4. Фабрика выпускает наборы из пяти слоников различной величины и массы. Если расставить слоников по росту, то по стандарту разность масс должна быть одной и той же. Сможет ли контролёр проверить это с помощью чашечных весов без гирь? А если бы наборы были из четырёх слоников?
5. На плоскости расположены два прямоугольника, пересечением которых является равносторонний восьмиугольник. Докажите, что эти прямоугольники — квадраты с общим центром.
Задачи третьего номера 2009 года
1. Вдоль дороги длиной 60 км стоят несколько пеньков (больше одного). Первый турист идёт по дороге со скоростью5 км/ч и возле каждого пенька отдыхает одно и то же целое число часов. Второй турист едет на велосипеде со скоростью 12 км/ч и на каждом пеньке отдыхает в два раза дольше первого туриста. Начали и закончили движение туристы одновременно. Сколько пеньков у дороги?
2. Опустив в кружку с водой чайный пакетик, приподнимите его за ниточку над кружкой — пакетик начнёт вращаться. Почему это происходит?
3. Одна из одной золотой, трёх серебряных и пяти бронзовых медалей фальшивая: легче настоящей. Настоящие медали из одного металла весят одинаково, а медали из разных металлов — не одинаково. За два взвешивания на чашечных весах без гирь найдите фальшивую монету.
4. В деревне живут 250 хоббитов. Каждый хоббит живёт в отдельном домике. По вечерам они ходят друг к другу в гости. За один вечер каждый хоббит, если он идёт в гости, посещает всех, кого можно застать дома, причём у себя дома в этот вечер уже не появляется. За какое наименьшее число вечеров может случиться так, что среди любых двух жителей деревни хотя бы один побывал в гостях у другого?
5. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF величины всех внутренних углов равны. Найдите BC и AF, если AB = 2, CD = 5, DE = 7 и EF = 2.
Задачи четвёртого номера 2009 года
1. Решите ребус ДЕЦЛ = МАЛ + ДА + УДАЛ, если ДЕЦЛ должен быть как можно меньше. (Разными буквами обозначены разные цифры, а одинаковыми — одинаковые.)
2. Барон Мюнхгаузен говорит, что у него есть многозначное число-палиндром (палиндром — это число, которое читается одинаково слева направо и справа налево). Написав его на бумажной ленте, барон сделал несколько разрезов между цифрами и получил на кусочках ленты числа 1, 2, ..., n (каждое ровно по одному разу, строго в данном порядке). Не хвастает ли барон?
3. До повышения цен чай с двумя пряниками стоил 1 рубль. Когда все цены выросли (на одинаковое число процентов), рубля стало хватать только на чай с одним пряником. Потом цены опять выросли, причём на столько же процентов, как и в первый раз. Хватало ли после этого рубля хотя бы на чай?
4. В углах шахматной доски стоят четыре ладьи. Ладья каждым своим ходом перемещается по горизонтали или вертикали, пока не упрётся в другую ладью или в четырёх центральных клетках. Соберите ладьи в центре доски!
5. Если прямоугольник с вырезанным в нём отверстием неправильной формы подвесить за вершину A, сторона ABобразует с вертикалью угол 30°, а если за вершину B — угол 60°. Какой угол с вертикалью образует сторона AB, если прямоугольник подвесить за середину этой стороны?
Задачи пятого номера 2009 года
1. Петя и Вася едут в соседних вагонах поезда. Вагон, в котором едет Петя,— пятый от «головы» поезда, а вагон, в котором едет Вася,— седьмой с хвоста. Сколько вагонов в поезде?
2. На рисунке изображена фигура, все углы между соседними сторонами которой прямые. С помощью только карандаша и линейки проведите прямую, которая отсекает часть, площадь которой равна половине площади фигуры.
3. Гриб называем плохим, если в нём не менее 10 червей. Если же в грибе меньше 10 червей, то его считаем хорошим. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
4. Для двух разных шариков легко сделать колечко, которое можно плотно надеть на каждый из них (без щелей!).А если взять две разные картофелины, всегда ли удастся изготовить проволочное кольцо, возможно изогнутое или неплоское, которое можно плотно надеть на каждую из картофелин?
5. По коридору идёт толпа. Перед развилкой коридора стоит разделитель. Он направляет одного человека налево, а другого направо так, что поток делится на две равные части. При помощи нескольких таких разделителей легко отделить четверть потока или три восьмых. Научитесь отделять треть потока!
Задачи шестого номера 2009 года
1. Мистер Твистер получил в наследство несколько фабрик. За его жизнь 7 фабрик разорились, а остальные он разделил между своими семью сыновьями. Младший сын за свою жизнь пустил на ветер 6 фабрик, а остальные разделил между своими семью сыновьями. Его младший сын продал с молотка 5 фабрик, но остальные по семейной традиции разделил между своими семью сыновьями. При жизни его младшего сына разорились 4 фабрики, но когда дело дошло до наследства, делить было нечего: у прогоревшего дельца оставалась всего одна фабрика. Сколько фабрик было изначально у мистера Твистера?
2. Планета имеет форму шара. Можно ли провести на ней 2009 меридианов и 2010 параллелей так, чтобы они разделили планету на участки равной площади?
3. Два насоса вместе заполняют бассейн за два часа, а раздельно каждый из них заполняет за целое, своё для каждого насоса, число часов. За сколько часов более мощный заполняет бассейн?
4. Петя вышел из точки A плоской равнины и прошёл 1 м на юг, 2 м на запад, 3 м на север, 4 м на восток, 5 м на юг,6 м на запад, 7 м на север, 8 м на восток и так далее. Пройдя суммарно 5 км, Петя устал и сел отдохнуть. На каком расстоянии от точки A это произошло?
5. Среди 9 одинаковых с виду монет одна фальшивая, которая легче настоящей. Одна из монет прилипла к одной из чаш чашечных весов без гирь. Отдирать её некогда. За два взвешивания найдите фальшивую монету. (Она может быть и прилипшей!)
Комментариев нет:
Отправить комментарий