«Квант» для «младших» школьников Задачи 1987 года

«Квант» для «младших» школьников

Задачи первого номера 1987 года

1. Король Артур заказал художнику рисунок для своего щита, имеющего форму четверти круга, с просьбой окрасить его в три цвета: жёлтый — цвет доброты, красный —храбрости, синий — мудрости. Когда художник принёс рисунок, оруженосец сказал, что на рисунке храбрости больше, чем ума. Однако художник смог доказать, что там храбрости и ума поровну. Докажите и вы!

Указание   Решение

2. Решите ребус

ШЕПНУЛ + ШЕПНУЛ + ШЕПНУЛ + ШЕПНУЛ + ШЕПНУЛ = КРИКНУЛ.

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

Указание   Ответ

3. Однажды я заблудился в лесу. Уже собирался остановиться, чтобы развести костер и заночевать, как споткнулся о водопроводную трубу. Ясно, что нужно идти вдоль трубы, но в какую сторону? Туда, куда течёт вода, ведь она течёт к людям. А как определить, куда течёт вода?

Указание   Ответ

4. Урожай фруктов в этом году был отличный. Мы наварили 19 банок варенья.Я расставил их на трёх полках в погребе так, чтобы на каждой полке стояло одинаковое количество литров варенья. На первую полку я поставил одну большую и четыре средние банки, на вторую — две большие и шесть литровых банок, а на третью — одну большую, три средних и три литровых банки. Сколько литров варенья мы сварили?

Ответ   Решение

5. Два джентльмена были чрезвычайно схожи в своих привычках и (видимо, поэтому) терпеть друг друга не могли.Однажды, прогуливаясь по улице, они увидели друг друга и одновременно свернули в парк: один в ворота A, второй —в ворота B. Каждый решил обойти этот хорошо знакомый им парк, пройдя ровно по одному разу по каждой дорожке. Докажите, что если они всё время будут двигаться с одинаковыми скоростями, то непременно встретятся.

Указание   Решение

Задачи второго номера 1987 года

1. У меня дома есть три ведра, каждое из которых вмещает целое число литров. Если вылить полное первое ведро воды во второе, то вода займёт ²/₃ его объёма, а если вылить полное первое ведро в третье, то вода займёт ³/₄ его объёма. Однажды я наполнял водой тридцатилитровую бочку, сначала вылив первое ведро, потом второе, затем третье ведро, но бочка ещё не наполнилась. Сколько литров воды можно ещё в неё влить?

Ответ   Решение

2. Решите арифметический ребус, изображённый на рисунке. Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым —одинаковые.

Ответ

3. В Великобритании и США температуру принято измерять по шкале Фаренгейта, по которой температура плавления льда составляет 32°, а температура кипения воды 212°. Укажите температуру, при которой количества градусов по шкалам Цельсия и Фаренгейта совпадают.

Ответ   Решение

4. Шеф секретной службы составил следующую инструкцию взаимной слежки для своих семи главных агентов: агент 001 следит за тем, кто следит за агентом 002, агент 002 — за тем, кто следит за агентом 003, и так далее; агент 007 следит за тем, кто следит за агентом 001. Но вдруг пришёл приказ — взять на службу ещё агента 008. Сможет ли шеф составить аналогичную инструкцию для восьми агентов?

Ответ   Указание

5. Имеется куб и шесть одинаковых крестообразных фигур, вырезанных из бумаги. Площадь каждой бумажной фигуры равна площади одной грани кубика. Можно ли этими кусками бумаги целиком оклеить поверхность куба?

Ответ   Указание   Решение

Задачи третьего номера 1987 года

1. Имеются два пластмассовых кубика одного размера. Первый плавает в воде, опускаясь в воду на 2 см, а второй — на 1 см. На сколько опустится в воду нижний кубик, если первый кубик поставить на второй? А если второй на первый?

Ответ

2. Мадемуазель Дюбуа любит домашних животных. Все её животные, кроме двух,— собаки, все, кроме двух,— кошки, и все, кроме двух,— попугаи; остальные — тараканы. Сколько каких животных у мадемуазель Дюбуа?

Ответ

3. Два конгруэнтных бумажных выпуклых четырёхугольника разрезали:первый — по одной из диагоналей, а второй — по другой диагонали. Сложите из полученных частей параллелограмм.

Решение

4. «Медные» монеты достоинством 1, 2, 3 и 5 копеек весят соответственно 1, 2, 3 и 5 граммов. Среди четырёх «медных» монет (по одной каждого достоинства) одна — бракованная: отличается весом от нормальной. Научитесь с помощью взвешиваний на чашечных весах без гирь определять бракованную монету.

Указание   Решение

5. Замените в неравенствах
П > Р > О < Е < К < Т < И < Р > О > В > А > Н < И > Е буквы цифрами так, чтобы все неравенства стали верными (одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам,разные — разным):

Ответ

Задачи четвёртого номера 1987 года

1. Замените на рисунке звёздочки цифрами так, чтобы равенство оказалось верным.

Ответ

2. В 1987 году возраст старшего из двух братьев стал равен сумме цифр года рождения младшего, а возраст младшего — сумме цифр года рождения старшего брата. Сколько им лет, если один старше другого на 7 лет?

Ответ

3. Однажды Петя попробовал подключить лампочку к двум батарейкам так, как показано на рисунке. Однако лампочкане загорелась, хотя от каждой из батареек она зажигалась. Почему?

Ответ

4. Шофёр автобуса установил в одной кассе катушку билетов с номерами от 537 000 до 537 999, а в другой — с номерами от 462 000 до 462 999. В какой из катушек «счастливых» билетов больше (то есть таких, что сумма первых трёх цифр равна сумме следующих трёх цифр)?

Ответ   Указание   Решение

5. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, делит его на два четырёхугольника равной площади. Докажите, что эти стороны параллельны.

Указание   Решение

Задачи пятого номера 1987 года

1. Сумма длин каких изображённых на рисунке полуокружностей больше: верхних или нижних?

Ответ   Решение

2. Почему растения не рекомендуют поливать днём, особенно в солнечную погоду?

Ответ

3. Совершите путешествие из пункта П в пункт Е рисунка. Для этого замените буквы цифрами так, чтобы все равенства стали верными (одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные — разные). Счастливого пути!

Ответ

4. Из шести косточек домино выложен прямоугольник так, что ему соответствует пример на сложение. Сложите из шести косточек домино (может быть, других) аналогичный прямоугольник так, чтобы сумма (то есть число в нижней строчке) была наименьшей.

Ответ

5. В детском кафе стоят одинаковые круглые и одинаковые квадратные столы, на которых лежат одинаковые круглые и одинаковые квадратные салфетки. Круглый стол можно покрыть четырьмя квадратными салфетками, а квадратный — четырьмя круглыми салфетками. Докажите, что диаметр круглой салфетки не меньше половины диагонали квадратного стола, а сторона квадратной салфетки не меньше радиуса круглого стола.

Указание   Решение

Задачи шестого номера 1987 года

1. Замените на рисунке буквы цифрами так, чтобы получились верные равенства. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

Ответ

2. Говорят, что Тортила отдала Буратино золотой ключик не так просто, как рассказал А.Н. Толстой, а вынесла три коробочки: красную, синюю и зелёную. На красной коробочке было написано «Здесь лежит золотой ключик», насиней — «Зелёная коробочка пуста», а на зелёной — «Здесь сидит гадюка». Тортила прочла надписи и сказала: «Действительно, в одной коробочке лежит золотой ключик, в другой — гадюка, а третья пуста, но все надписи неверны». Где же лежит золотой ключик?

Указание   Решение

3. У Коли, Вити и Юры было 12, 14 и 22 ореха. Когда Коля отдал Вите столько орехов, сколько было у Вити, затем Витя отдал Юре столько орехов, сколько было у Юры, а Юра отдал Коле столько орехов, сколько оставалось у Коли, у всех ребят орехов оказалось поровну. Сколько орехов было у каждого?

Ответ

4. Лихие капитаны парусников, перевозивших хлопок из Австралии в Англию,не стремились полностью загружать свои корабли, хотя были заинтересованы в перевозке большего количества хлопка. Почему?

Ответ

5. Выпуклый четырёхугольник разрезали по двум средним линиям (отрезкам, соединяющим середины противоположных сторон). Докажите, что из полученных четырёх частей можно сложить параллелограмм.

Указание   Ответ

Задачи седьмого номера 1987 года

1. Дядя Алёша вдвое старше меня, а цифры числа, выражающего мой возраст, равны сумме и разности цифр его возраста. Сколько мне лет?

Ответ

2. Двери в салоне электрички движутся на роликах по направляющим, расположенным не горизонтально, а наклонно. Почему?

Указание   Ответ

3. Во время новогоднего карнавала Антон забежал в свой класс и увидел оставшийся на доске пример на возведение числа в пятую степень. Он стёр три цифры у результата и получил: **198*7. (Звёздочки стоят на местах стёртых цифр.) Какое число возвели в пятую степень?

Ответ   Указание   Решение

4. Зашнуровать спортивные туфли так, как изображено на рисунке, можно многими способами за счёт различий в шнуровке изнутри. Сколько же таких способов?

Ответ   Решение

5. Однажды на лестнице я нашёл странную тетрадь. В ней было написано сто следующих утверждений:
«В этой тетради ровно одно неверное утверждение.»;
«В этой тетради ровно два неверных утверждения.»;
. . . . . . . . . . . . «В этой тетради ровно сто неверных утверждений.».
Какое же из этих утверждений верное?

Ответ   Решение

Задачи восьмого номера 1987 года

1. Пусть a и b — две разные цифры, цифра a не равна нулю. Докажите, что равенство
а) (10a + b) (100a + 10a + a) = (100a + 10b + a) (10a + a) не выполнено ни при каких a и b;
б) (10a + b) (100a + 10a + a) = (100a + 10b + a) (10a + a) + 1 выполнено лишь для одной пары цифр a и b;
в) (10a + b) (1000a + 100a + 10a + a) = (1000a + 100b + 10a + b) (10a + a) выполнено всегда.

Решение

2. Разложите все 28 косточек домино в четыре кучки так, чтобы суммы очков в кучках были четырьмя последовательными простыми числами.

Указание I   Указание II

3. Решите числовой ребус

СЛОВ,О + СЛОВ,О = ПЕСНЯ.

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

Ответ

4. Стрелку компаса укрепили на плоской пробке и опустили пробку в воду. Как будет вести себя пробка?

Ответ

5. Подставьте вместо многоточий на рисунке цифры или числа так, чтобы предложение оказалось верным.

Ответ

Задачи девятого номера 1987 года

1.Решите арифметический ребус

РАЙОН + РАЙОН = ГОРОД.

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

Ответ

2. Как-то раз я уронил термометр, которым обычно измеряю температуру фотореактивов. Термометр не разбился, но столбик спирта «разорвался». Как починить термометр?

Ответ

3. Коля купил в буфете 3 пакетика ирисок. Витя — 2 пакетика. Когда пришёл в буфет Алёша, ирисок уже не было. Друзья разделили купленные ириски поровну. Выяснилось, что Алёша должен друзьям25 копеек. Сколько стоил пакетик ирисок и сколько Алёша должен Коле, а сколько — Вите?

Ответ   Решение

4. Городские часы отбивают каждый час положенное число раз. Кроме того, они бьют один раз в половину каждого часа. Анатолий Павлович любит читать книгу, сидя в скверике около курантов. Однажды за время, пока он читал, часы принимались бить пять раз, а всего он насчитал 11 ударов.С последним ударом часов Анатолий Павлович встал и пошёл домой. В какоеэто было время?

Ответ   Решение

5. Может ли какая-нибудь степень двойки содержать в своей записи поровну нулей, единиц, двоек, ..., девяток?

Ответ   Указание   Решение

Задачи десятого номера 1987 года

1. Нетрудно доказать, что сумма величин углов правильной пятиконечной звезды равна 180°. Докажите, что такова же сумма углов произвольной пятиконечной звезды.

Указание I   Указание II   Указание III   Указание IV   I способ   II способ   III способ   IV способ

2. Мне удалось, взяв по два раза цифры 1, 2, 3 и 4, написать восьмизначное число, у которого между единицами стоит одна цифра, между двойками — две, междутройками — три, а между четвёрками — четыре цифры. А вы так можете?

Ответ   Комментарий

3. Расставьте числа от 1 до 8 в кружках изображённой на рисунке фигуры так, чтобы числа в кружках, соединённых отрезками, отличались не меньше, чем на два.

Указание   Решение

4. Мои настенные часы ведут себя очень странно. В первой половине каждого часа они спешат на две минуты, зато во второй его половине на две минуты отстают. В чёмпричина такого поведения часов?

Ответ

5. Точка, взятая внутри равностороннего треугольника, соединена со всеми вершинами. Кроме того, из неё опущены перпендикуляры на все стороны треугольника. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих треугольников.

Указание   Решение

Задачи одиннадцатого номера 1987 года

1. После окончания шахматного турнира в один круг (каждый сыграл с каждым другим по одному разу) все пять его участников А, Б, В, Г, Д, перечисленные здесь в порядке занятых мест, обменялись впечатлениями.
— Не думал, что лишь я один не испытаю горечи поражения,— сказал Б.
— А вот мне единственному не удалось одержать ни одной победы,— заметил Д.
Попробуйте по этим данным восстановить турнирную таблицу: выясните о каждых двух игроках, как именно окончились их партия.

2. Почему в морозный день снег скрипит под ногами?

Ответ

3. Расшифруйте ребус

ДЕДКА + БАБКА + РЕПКА = СКАЗКА,

в котором одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным —разные, и ДЕДКА > БАБКА > РЕПКА.

Ответ

4. Из набора гирек с массами 1 г, 2 г, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г.Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 штук в каждой так, чтобы массы кучек были одинаковы?

Ответ   Решение

5. В равнобедренном треугольнике отмечены середины боковых сторон и их проекции на основание. Через отмеченные точки проведены две прямые, как показано на рисунке. Докажите, что из полученных частей можно сложить ромб.

Указание

Задачи двенадцатого номера 1987 года

1. Про три простых числа известно, что одно из них равно разности кубов двух других. Какие это числа?

Ответ   Решение

2. В некоторых старинных часах, предназначенных для работы на открытом воздухе, маятник изготовляли в виде длинной трубки, заканчивающейся сосудом со ртутью. С какой целью это делали?

Ответ

3. Решите числовой ребус, изображённый на рисунке. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые числа, разным — разные.

Ответ

4. На хуторе Семидворье семь домов. Любопытно, что какие бы три дома мы ни выбрали, расстояние хотя бы между некоторыми двумя из трёх выбранных равно 100 метрам. Придумайте, как могут располагаться дома! 

5. Тартарен, путешествуя по Африке, однажды остановился на ночлег на берегу небольшого озера с чистейшей водой (на дне били ключи). Однако утром к озеру подошло стадо слонов. Тартарен насчитал 183 головы. На следующее утро они ушли, оставив вместо озера грязную лужу. Через несколько лет Тартарен вновь попал на это место. Озеро вновь было полно воды, но утром опять появились слоны. На этот раз в стаде было 37 слонов, и воды им хватило на 5 дней. Покидая берега выпитого до дна озера, Тартарен задумался: за сколько дней опустошил бы озеро один слон?