«Квант» для «младших» школьников Задачи 1989 года

«Квант» для «младших» школьников

Задачи второго номера 1989 года

1. Иногда продавцы, принимая мелочь, взвешивают её. Однажды продавцу дали 50 рублеймонетами по 15 и 20 копеек. Их общая масса оказалась равной 800 г. Сколько было монет? (Пятнадцатикопеечная монета (пятиалтынный) весит 2,5 г, а двадцатикопеечная (двугривенный) — 3 г.)

2. Расставьте числа от 1 до 8 в кружки фигуры, изображённой на рисунке, так, чтобы сумма чисел на каждой окружности была одной и той же.

3. Мы с сыном катались в лодке по озеру. В воде отражался прибрежный лес. Сын сказал: «Давай наедем на отражение, я хочу, чтобы оно оказалось у меня под ногами». Мы попробовали сделать это, но отражение «убежало» от нас. Почему?

4. В газете «Советский спорт» 3.V.1987 была опубликована промежуточная таблица одного футбольного турнира:

	Игр	Побед	Ничьих	Поражений	Разница мячей	Очков
Венгрия	2	2	0	0	4 – 1	4
Швеция	2	1	1	0	1 – 1	3
Испания	2	0	2	0	3 – 3	2
Ирландия	3	0	1	2	3 – 5	1
Франция	1	0	0	1	0 – 2	0

Докажите, что в таблице имеется ошибка, и, зная, что ошибка одна, исправьте её и укажите результаты сыгранных матчей.

5. Точку пересечения средних линий выпуклого четырёхугольника соединили с его вершинами. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих треугольников.

Задачи третьего номера 1989 года

1. Серёжа сложил три последовательных натуральных числа, потом три следующих числа, после чего полученные суммы перемножил. Могло ли у него получиться число 111 111 111?

2. На стол положили 35 спичек так, как показано на рисунке. Получилась спираль, «закрученная» по часовой стрелке. Переложите четыре спички так, чтобы получилась такая же спираль, закрученная против часовой стрелки. 

3. С числом, записанным на доске, разрешено производить следующие операции: либо заменять его удвоенным, либо стирать его последнюю цифру. С помощью этих операций получите из числа 458 число 14.

4. Может ли быть верным равенство

Ж · У · Р · Н · А · Л = К · В · А · Н · Т,

если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Одинаковым буквам при этом должны соответствовать одинаковые цифры, разным — разные. 

5. В правильном восьмиугольнике провели две параллельные диагонали, как показано на рисунке. Докажите, что площадь полученного прямоугольника вдвое меньше площади восьмиугольника.

Задачи четвёртого номера 1989 года

1. Найдите такие два числа, что при умножении первого на 2 получится квадрат второго, а при умножении первого на 3 — куб второго.

2. Однажды в вагоне поезда Таня стала зашифровывать слова, заменяя буквы их номерами в алфавите. Когда она зашифровала пункты прибытия и отправления поезда, то с удивлением обнаружила, что они записываются с помощью лишь двух цифр:211221 — 21221. Откуда и куда идёт поезд?

3. Решите арифметический ребус

АИСТ + АИСТ + АИСТ + АИСТ = СТАЯ.

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные. 

4. На рисунке изображён циферблат часов фирмы «Тона—Бенге». Какой цвет на нём занимает наибольшую площадь: красный, синий или жёлтый?

5. В некотором четырёхзначном числе переставили цифры. Новое число вычли из первоначального. Получилось число, записанное снова теми же цифрами. Какое это число?

Задачи пятого номера 1989 года

1. Антоше подарили весы, и он начал взвешивать свои игрушки. Машину уравновесили мяч и два кубика, а машину скубиком — два мяча. Сколько кубиков уравновешивают машину? (Все мячи у Алёши одинаковые, кубики — тоже.)

2. При умножении на 4 четырёхзначного числа, все цифры которого различны, получается число, записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке. Какое это число?

3. К числу 1989 припишите по цифре слева и справа так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 88. 

4. Три окружности проходят через одну точку. Найдите сумму величин углов красного криволинейного треугольника.

5. Набор состоит из 30 гирек с массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., 30 г. Из набора убрали10 гирек, общая масса которых равна трети общей массы всех гирек. Можно ли оставшиеся гирьки разложить на две чашки весов по 10 штук на каждую чашку так, чтобы весы оказались в равновесии?

Задачи шестого номера 1989 года

1. В равенстве 101 – 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

2. Судно «Альфа» пришвартовалось к причалу раньше, чем судно «Квант». Сможет ли оно и отплыть раньше, если при этом не снимать с тумбы швартовочный канат «Кванта»?

Ответ   Решение

3. Дедушка Сулейман на 100 лет старше своей праправнучки Зульфии. В этом году Зульфия обнаружила, что произведение её возраста и возраста дедушки Сулеймана равняется 1989. Сколько ей лет?
4. Четыре неформальных молодежных объединения «Зелёный фронт», «Эко», «Красный патруль» и «Искатели истины» решили объединиться. На объединительной конференции присутствовало поровну делегатов от всех четырёх объединений. Разногласия возникли при выборе названия нового объединения. Для голосования были отобраны два названия: «Зелёный мыслитель» и «Мыслящий эколог».
Все делегаты от «Красного патруля» хотят голосовать за одно и то же название, а в остальных делегациях единства нет. Среди делегатов «Зелёного фронта» столько же хотят голосовать за первое название, сколько делегатов от«Эко» — за второе. Среди приверженцев второго названия одну треть составляют делегаты «Искателей истины».
Какое название будет выбрано?

5. Квадратный лист бумаги разрезали на 6 выпуклых многоугольников. Пять кусков затерялись, остался один правильный восьмиугольник. Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?

Задачи седьмого номера 1989 года

1. Как-то раз знаменитый индийский математик Рамануджан ехал в автомобиле со своим английским другом математиком Харди. «Вы говорите, что не бываетне замечательных чисел,— сказал Харди.— А вот номер моей машины, 1729,— ничем не замечательное число.» «Что Вы,— воскликнул Рамануджан,— это же наименьшее число, которое представляется в виде суммы кубов двух натуральных чисел двумя различными способами!» Найдите оба эти представления.

2. На лесной поляне собрались друзья: Попугай, Удав, Слонёнок, Телёнок, Котёнок, Мартышка и Верблюжонок. Попугай начал всех мерить. Оказалось, что Слонёнок длиннее Телёнка на3 Попугая, Верблюжонок длиннее Мартышки тоже на 3 Попугая, Телёнок длиннее Попугая на 7 Попугаев,Верблюжонок длиннее Котёнка на6 Попугаев, а все они укладываются в точности на Удаве, длина которого —38 Попугаев. Выразите длины друзей в Попугаях.

3. Проверьте равенство частных (19³ – 70³) : (19³ + 89³) и (19 – 70) : (19 + 89). Вообще, если c = a + b, то отношения(a³ – b³) : (a³ + c³) и (a – b) : (a + c) равны. 

4. Когда Петя разбил свою копилку, в ней оказалось 16 медных монет. Он разложил их на 4 кучки по 4 монеты так, чтобы денег в кучках было поровну. Тут он заметил, что наборы монет во всех кучках разные. Сколько денег было в копилке? 

5. Разрежьте одинаковым образом каждую из двух одинаковых фигур, каждая из которых получена из квадрата размером 6×6 отрезанием угловых клеток, на 4 части так, чтобы из полученных восьми кусков можно было сложить одну подобную им фигуру вдвое большей площади.

Задачи восьмого номера 1989 года

1. Лёва и Паша живут в одном доме. Номера их квартир — двузначные числа с такой особенностью: если к сумме цифр номера квартиры прибавить квадрат разности цифр номера, то снова получится этот номер. Найдите номера квартир Паши и Лёвы.

2. Решите арифметический ребус

(К + В + А + Н + Т)³ = КВАНТ.

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

3. Можно ли из двух одинаковых кругов вырезать по остроугольному треугольнику с вершинами на окружности так, чтобы один из них мог поместиться целиком внутри другого? 

4. На микрокалькуляторе всякая цифра записывается с помощью не более семи маленьких отрезочков. В примере, изображённом на рисунке, у каждой из цифр один отрезочек стоит не на своем месте. Переложите отрезочки так, чтобы равенство стало верным.

5. Чему равна сумма чисел десятой строки арифметического треугольника рисунка? А сотой? А n-й?

Задачи девятого номера 1989 года

1. Может ли значение выражения a² — b² + c² делиться на 5, если ни одноиз целых чисел a, b и c не делится на 5?

2. Собираясь в путешествие на автомобиле, я обнаружил неисправность спидометра и заменил его спидометром от другой машины. Когда я отъезжал от дома, на счётчике спидометра было 131 313 км. На шоссе у столба с отметкой 100 км он показывал 131 460, ещё через 70 км — 132 558 км.Когда я добрался до места назначения, счётчик показывал 132 713 км. Сколько километров я проехал?

3. Расставьте в кружках фигуры, изображённой на рисунке, числа 1, 2, ..., 11 так, чтобы для всех квадратов сумма чисел в вершинах квадрата была одна и та же.

4. Милиционер Степан Степанов обернулся на звук бьющегося стекла и увидел четырёх подростков, убегающих от разбитой витрины. Через 5 минут они были в отделении милиции. Андрей заявил, что стекло разбил Виктор, Виктор же утверждал, что виноват Сергей. Сергей заверял, что Виктор лжёт, а Юрий твердил, что это сделал не он. Из дальнейшего разговора выяснилось, что лишь один из ребят говорил правду. Кто разбил стекло? 

5. Длина внешней окружности равна длине границы розочки, полученной из нескольких окружностей вдвое меньшего радиуса, проходящих через её центр. Докажите это.

Задачи десятого номера 1989 года

1. По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивают 12 франков. Через 30 днейработник узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней он работал? 

2. Людмила в 6 раз моложе своего прадедушки; если же между цифрами её возраста вставить 0, то получится возраст её прадеда. Сколько ей лет?

3. Трёхзначное число в 5 раз больше произведения своих цифр. Какое это число?

4. Решите арифметический ребус

КОРОВА + ТРАВА + ДОЯРКА = МОЛОКО,

если КОРОВА больше, чем ДОЯРКА. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные.

5. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника равны и параллельны. Взяв три вершины шестиугольника через одну, получим красный треугольник. Покажите, что площадь этого треугольника равна половине площади шестиугольника.

Задачи одиннадцатого номера 1989 года

1. Три клоуна Бим, Бом и Бам вышли на арену соответственно в красной, зелёной и синей рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали.У Бома ни туфли, ни рубашкане были красными. Бам был в зелёных туфлях и в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

2. Найдите два простых числа, сумма и разность которых также являются простыми числами.

3. Заполните прямоугольник цифрами так, чтобы в каждом горизонтальном ряду стояло четырёхзначное число, делящееся на 92, а в каждом вертикальном ряду — трёхзначное число, также делящееся на 92.

4. В этой головоломке девяти различным буквам соответствуют девять различных цифр. Расшифруйте!

5. На сколько частей разбивают пространство плоскости граней трёхгранной пирамиды?

Задачи двенадцатого номера 1989 года

1. Ученики 3«А» класса пришли в театр. В антракте все они побежали в буфет. Каждый мальчик купил пирожок, а каждая девочка — булочку. Если бы каждый мальчик купил булочку, а каждая девочка —пирожок, то они (вместе) потратили бы на одну копейку меньше. Мальчиков больше, чем девочек. На сколько? 

2. Число КУБ является кубом некоторого числа, а число БУК — простое. Найдите эти числа.

3. Решите арифметический ребус

КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА.

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные. 

4.Точки К и E — середины, соответственно, сторон CD и ADпараллелограмма ABCD. Докажите, что окрашенная в красный цвет площадь в два раза больше площади остальной части паралелограмма.

5. Может ли десятичная запись некоторого факториала (то есть числа, являющегося произведением нескольких первых натуральных чисел) записываться цифрами 111...100...0? А существует ли делящееся на 1990 число, десятичная запись которого состоит из нескольких единиц, после которых идут несколько нулей?