«Квант» для «младших» школьников Задачи 1984 года

«Квант» для «младших» школьников

Задачи первого номера 1984 года

1. Саша обратил внимание на номер автомашины, подъехавшей к его дому. Интересно! Если прибавить к первому числу цифры второго: 85 + 8 + 7, то получится 100, и если прибавить ко второму числу цифры первого: 87 + 8 + 5, то тоже получится 100. А сколько всего таких номеров?

2. Поставьте в примере на умножение вместо звёздочек недостающие цифры. 

3. Расставьте числа от 1 до 12 в кружки так, чтобы суммы чисел на каждой из шести прямых, на каждой из трёх окружностей и в вершинах каждого их трёх ромбов были одинаковы.

4. У Вадика было орехов в 3 раза меньше, чем у Кости. Если Вадику дать ещё столько же орехов, взяв их у Кости, то у обоих будет поровну. Сколько орехов было у Кости?

5. «— Огонь в полумиле от нас, и ветер несёт его в нашу сторону со страшной быстротой...
— Что там огонь!... По-вашему, это огонь?.. Ну, молодцы, за работу... Беритесь-ка за эту низкую, вялую траву и выдёргивайте её вон...
Старик прошёл в противоположный край ... и, выбрав пук самых сухих стеблей, положил их на полку своего ружья. Они мгновенно вспыхнули от искры...
— Теперь,— сказал старик,...— вы увидите, как огонь дерётся с огнем!» Так в романе Ф. Купера «Прерия» описывается один из способов борьбы со степным пожаром — поджигание степи с противоположной стороны. Объясните, в чём секрет этого способа.

Задачи второго номера 1984 года

1. В коробке лежали спички. Их количество удвоили, а затем убрали 8 спичек. Остаток спичек снова удвоили, а затем снова отняли 8 спичек. Когда эту операцию проделали в третий раз, в коробке не осталось ни одной спички. Сколько их было сначала?

2. А и К — различные цифры. Ещё семь цифр в примере на умножение

*******К × К = ААААААААА

заменены звёздочками. Восстановите цифры в этом примере.

3. Что можно сказать о точках A, B и C плоскости, если для любой точки M расстояние AM меньше хотя бы одного из расстояний BM и CM?

4. Саша и Гриша на велосипедах часто катались по лесной тропинке от одного конца леса до другого. Однажды Гриша, проехав 2 км по лесу, встретил Сашу, чинившего свой велосипед. Друзья поговорили о школьных делах, и Гриша поехал дальше. Достигнув опушки леса, он заметил, что со времени въезда в лес прошло 24 минуты. Развернувшись, он поехал в обратную сторону и через 2 км снова встретил Сашу, чинившего свой велосипед, но уже в другом месте. «Сколько же ты проехал?»,— спросил Гриша.— «Всего 900 метров»,— ответил ему Саша. Определите время их первого разговора, если Гриша ездил всё время с одной и той же скоростью 10 км/час.

5. Два сосуда конической формы, изображённые на рисунке, залиты доверху одинаковым количеством воды. В донышках сосудов имеются одинаковые отверстия. Из какого сосуда быстрее выльется вода, если открыть эти отверстия?

Задачи третьего номера 1984 года

1. При делении числа 2 · 3 = 6 на 4 получаем остаток 2, при делении числа 3 · 4 = 12 на 5 вновь получаем остаток 2.Верно ли, что остаток от деления произведения двух последовательных чисел на число, следующее за ними, всегдаравен 2?

2. Два мальчика катаются на велосипедах поздно вечером. У одного из них велосипед с большими колесами, а у другого — с маленькими, но ездят они с одинаковой скоростью. У кого из них ярче горит фонарь, работающий от динамомашины на ободе колеса?

3. Существует ли трёхзначное число, равное произведению своих цифр?

4. На радиусах четверти круга, как на диаметрах, построены полукруги. Что имеет большую площадь: общая (красная) часть этих полукругов или (синяя) часть четверти круга, не покрытая ими?

Указание   Ответ

5. Цифру 9, с которой начиналось трёхзначное число, перенесли в разряд единиц — число уменьшилось на 216. Какое число было первоначально?

Задачи четвёртого номера 1984 года

1. При каком соотношении радиусов шестерёнок может вращаться система из четырёх шестерёнок, изображённая на верхнем рисунке? А система из пяти шестерёнок, изображённая на нижнем рисунке?

2. Решите числовой ребус

ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ. 

3. Каждая грань кубика разделена на 4 квадрата. Каждый квадрат окрашен в один из трёх цветов (синий, жёлтый или красный) так, что квадраты, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Сколько может быть синих квадратов?

4. Рассмотрим некоторое двузначное число, например 13. Умножим это число на 20и сложим его с исходным числом — получится число 273. Умножим полученное число на 481 — получится число 131 313, в записи которого трижды повторяется исходноечисло 13. Это удивительное свойство выполняется для любого двузначного числа. Почему?

5. На электронных часах высвечивается время: часы и минуты. Сколько времени в сутки высвечивается хотя бы в одном месте цифра 2?Найдите соответствующее время для остальных цифр: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Задачи пятого номера 1984 года

1. В равенствеVII + III = Vпереложите одну спичку так, чтобы оно стало верным. Попробуйте отыскать три разных способа.

2. Умный и доверчивый продавец получил для продажи несколько пачек конвертов по 100 конвертов в пачке. 10 конвертов он отсчитывает за 10 секунд. За сколько секунд он отсчитает 60 конвертов? А 90 конвертов? 

3. В клетках квадрата расставьте цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы пять чисел, десятичная запись которых получается на горизонтальных прямых, были бы квадратами целых чисел.

4. Когда из прямоугольника вырезали прямоугольник, образовалась фигура, изображённая на рисунке. Проведите прямую, которая делит эту фигуру на две части равной площади. 

5. Зимой можно наблюдать, как буксует автомашина: одно ведущее колесо, находящееся на льду, быстро вертится, а другое, стоящее на более шероховатой части дороги, остановлено. Если бы колеса всегда вращались с одной скоростью, машина таким образом буксовать бы не стала. Почему же тогда ведущие колеса автомобиля соединены так, что они могут вращаться с разными скоростями?

Задачи шестого номера 1984 года

1. Впишите в квадратики цифры от 1 до 9 так, чтобы все эти девять цифр были использованы, а указанные равенства выполнялись.

2. Круг и квадрат имеют одинаковые площади. В круг вписали квадрат, а в квадрат вписали круг. Что больше: площадь квадрата, вписанного в круг, или площадь круга, вписанного в квадрат?

3. Какое число разумно поставить вместо звёздочки в последовательности: 7, 17, 37, 77, *, 317,...?

4. Найдите ключ к «тарабарской грамоте» — тайнописи, применявшейся ранее в России для дипломатической переписки: «Пайцике тсюг т «камащамлтойчмароке» — кайпонили, нмирепяшвейля ш Моллии цся цинсоракигелтой неменилти.»

5. В большом зеркале отражается ваза. Рита сдвинула зеркало на метр, и отражение сместилось на метр. Женя сдвинула зеркало на метр, а отражение сместилось на два метра. Лиля сдвинула зеркало на метр — отражение не сместилосьвообще. Гриша же к зеркалу не прикасался, а отражение сдвинулось на метр. Как вы всё это объясните?

Задачи седьмого номера 1984 года

1. Из пункта A вниз по течению реки одновременно отплыли плот и катер, а навстречу им в тот же момент из пункта B отправился второй такой же катер. Когда первый катер достигнет пункта В, к чему будет ближе плот: к пункту A или ко второму катеру?

2. На бумаге нарисованы непересекающиеся контуры: 3 красных и 3 синих. Рисунок накрыли другим листком бумаги так, что один контур оказался накрытым целиком, а все другие частично видны. Определите цвет накрытого контура.

3. Сколько существует натуральных чисел, делящихся на 11, меньших 100 000, сумма цифр которых равна 11?

4. На витрине магазина разложены яблоки и груши в виде треугольника. В первом ряду — одно яблоко, вовтором — две груши, в третьем — три яблока, и так далее. Сколько лежало яблок и сколько груш, если было nрядов? 

5. Замечали ли вы, что, оступившись с утоптанной тропинки, можно довольно глубоко провалиться в рыхлый снег? А в начале весны, когда снег оседает при таянии, тропинки иногда оказываются даже выше окружающей снежной целины. Чем это можно объяснить?

Указание   Ответ

Задачи восьмого номера 1984 года

1. Какая ошибка допущена художником в заставке к вечерней телепередаче «Спокойной ночи, малыши»?

2. Высота треугольника в 2 раза меньше его основания, а величина одного из углов при основании равна 75°.Докажите, что треугольник равнобедренный.

3. Первокласснице Наташе было задано на дом выразить заданное целое число часов в секундах. Она красиво написала ответ в тетради и тут же закрыла её. Придя в школу, Наташа обнаружила, что две цифры расползлись в кляксы. Ко всему, она ещё забыла, какое именно число часов нужно было выразить в секундах. Какие цифры нужно написать вместо клякс?

4. Слава взял у товарища книгу на три дня. В первый день он прочитал половину книги, во второй — треть оставшихся страниц, а в третий день — количество страниц, равное половине страниц, прочитанных за первые два дня. Успел ли Слава прочесть книгу?

5. Решите числовой ребус (HE)² = SHE. (Нe и she — это «он» и «она» по-английски.)

Задачи девятого номера 1984 года

1. Можно ли в 400-значном числе

84198419...8419

вычеркнуть несколько цифр в начале и в конце так, чтобы сумма оставшихся цифр равнялась 1984?

2. Расставьте в клетки таблицы 4×4 числа,не равные 0, так, чтобы сумма чисел в углах каждого квадрата размером 2×2, 3×3 или 4×4 была равна 0.

3. В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., 100. Два игрока по очереди вставляют между ними знаки сложения, вычитания и умножения (очередной знак можно ставить на любое свободное место). Докажите, что игрок, делающий первый (а значит, и последний) ход, может добиться, чтобы окончательный результат был нечётным числом.

4. 175 Шалтаев стоят дороже, чем 125 Болтаев, но дешевле, чем 126 Болтаев. Докажите, что на покупку трёх Шалтаев и одного Болтая рубля не хватит, если каждый Шалтай и каждый Болтай стоят целое число копеек.

5. Звенья АВ и CD шарнирного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О; при этом AB = CD и BC = AD. Докажите равенства АО = СО и BO = DO.

Задачи десятого номера 1984 года

1. «Алло, Катя! Нам поставили телефон! Сообщаю номер. Он, как и у тебя, пятизначный. Первая цифра — простое число, следующие две цифры — двузначное простое число, а последние две цифры получаются из предыдущей пары перестановкой и образуют точный квадрат. Так какой у меня номер телефона?»

2. Существует ли треугольник со сторонами a = 7 см иb = 2 см, если высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

3. Предложите конструкцию прибора, основанного на принципе сообщающихся сосудов и предназначенного для проверки горизонтальности кладки кирпичных стен.

4. В магазин привезли 223 литра масла в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов?

5. Решите кросснамбер, то есть заполните клетки квадрата цифрами, как клетки кроссворда, в соответствии со следующими указаниями.

По горизонтали: a = (a по вертикали)², h = (f по вертикали)²,i = (c по вертикали) + (g по вертикали).
По вертикали: b = (g по горизонтали)²,d = (a по горизонтали) · (e по горизонтали).

Задачи одиннадцатого номера 1984 года

1. Два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а ихразность — полный квадрат. Какие это числа?

2. По десяти дорожкам сквера в направлении стрелок бегают спортсмены. Каждую дорожку каждый из спортсменов пробегает за 1 минуту, причём по одной из дорожек каждую минуту пробегает лишь один спортсмен, по другой — два, потретьей — три, и так далее, подесятой — 10 спортсменов. Расставьте на рисунке комера дорожек.

3. Мама сварила в одинаковых кастрюлях компот и кисель и, открыв крышки, поставила их охлаждаться на окно. Через полчаса я потрогал кастрюли. Какая из них оказалась теплее? 

4. На доске было написано два одинаковых числа. Степа приписал к одному из них впереди 100, а ко второму сзади 1. Оказалось, что первое число ровно в 37 раз больше второго. Какие числа были написаны на доске?

5. Вырежьте из листа клетчатой бумаги такой кусок, состоящий из наименьшего числа клеток, что, играя на нём в «крестики—нолики», начинающий всегда выигрывает (для победы в игре «крестики—нолики» нужно поставить три своих значка подряд).

Задачи двенадцатого номера 1984 года

1. Сколько зелёных стаканчиков нужно поставить на левую чашку весов, чтобы изображённые на рисунке весы оказались в равновесии?

2. На клетчатой плоскости проведены лучиАВ, АС и AD, как показано на рисунке. Докажите равенство величин угловВАС и CAD.

3. Недавно я нашёл прошлогоднюю таблицу хоккейного турнира между шестыми классами нашей школы. На ней сохранилась лишь небольшая часть записей. Восстановите таблицу.

4. Фигуру, изображённую на рисунке, требуется разделить на 6 одинаковых частей, делая разрезы только по линиям сетки. Сколькими способами вам удастся это сделать?

5. На рисунке изображена электрическая цепь со звонком, тремя лампочками и тремя кнопками, каждая из которых в свободном состоянии соединяет одну пару контактов, а в нажатом — другую. Цепь включена в сеть. Как она будет работать при нажатии на одну из кнопок?